初等几何

前几天看到了Solidot上介绍说,有一条自称是世界上最难的初等几何题目。根据上面说,只用初等几何解题就意味着只能用一些简单的定理,包括三角形内角和,对顶角和错位角等角度的关系,还有就是如证明全等三角形和相似三角形的一些定理,比如SAS(边角边),ASA,AAS。

原题的地址在这里。看到熟悉的东西,忍不住试做了一下,确实也蛮有技巧,为了对得起以前学过的东西,决定把这题完整地解一遍。

已知:∠CAE是10度,∠BAE是70度,∠ABD是60度,∠CBD是20度,∠C是20度

求∠DAE的大小

解:过E作EF平行于AB交AC于F,令∠BFG等于∠BFD交BC于G,连结DG

∵三角形AEF和三角形BEF全等(易得)

∴∠EBF等于10度

∴BF是∠DBE的角平分线

∵∠BFD=∠BFE,∠FBD=∠FBE

∴三角形BDF和三角形BGF全等(ASA)

∴FD和FG长度相同

∵∠DFG为60度(易得)

∴三角形DFG是等边三角形

∴DF和DG相等

∵∠EFG=∠EGF=40度

∴EF=EG

∴三角形EFD和三角形EGD全等

∴∠FED=∠GED

∴x=20度

证毕

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